APPLICATION OF THE L-CURVE IN SEISMIC TRAVELTIME TOMOGRAPHY: METHODOLOGIES FOR THE EXTRACTION OF THE OPTIMAL REGULARIZATION PARAMETER

Abstract

Os problemas inversos da Geofísica Aplicada são geralmente são mal postos. Uma maneira de reduzir essa deficiência é através de matrizes de derivadas, que são um caso particular de um procedimento mais geral denominado regularização. A regularização por matrizes de derivadas tem um parâmetro de entrada chamado parâmetro de regularização, geralmente denotado por λ, cuja escolha já é um problema. Foi sugerida na década de 1970 uma abordagem heurística mais tarde chamada de curva L, com a finalidade de fornecer o parâmetro ótimo de regularização. A curva L, denominado desta forma devido ao fato de ter a forma aproximada da letra L, é uma curva paramétrica, onde cada ponto está associado a um parâmetro λ. O eixo horizontal representa o erro de inversão, isto é, o erro entre os valores observados e os valores calculados do vetor dado. O eixo vertical representa a quantidade de regularização, isto é, o produto entre a matriz de regularização e o vetor estimado de parâmetro de modelo. O ponto de ideal é o joelho da curva L, onde existe um equilíbrio entre as quantidades representadas nos eixos cartesianos. A curva L foi aplicada a uma variedade de problemas inversos, inclusive na Geofísica. No entanto, a visualização do joelho para a extração do parâmetro ideal nem sempre é uma tarefa fácil, em especial quando a curva L não tem claramente o formato da letra L. No presente trabalho, três metodologias são empregadas para a busca e obtenção do parâmetro de regularização ideal a partir da curva L. O primeiro critério é a utilização do pacote de programas de Hansen, que extrai o λ automaticamente. O segundo critério consiste em construir a curva L, e visualmente extrair o parâmetro ótimo. Finalmente, o terceiro critério compreende a construção da curva da primeira derivada da curva L, e a extração automática posterior do ponto máximo, o qual está associado ao joelho da curva L original. A teoria de regularização através de matrizes de derivadas e a utilização da curva L, juntamente com os três critérios acima referidos foram aplicados e validados no problema inverso clássico da tomografia de tempos de trânsito. Depois de muitas simulações com dados sintéticos, sejam dados livres de ruído como também dados corrompidos com ruído, com as ordens de regularização 0, 1 e 2, verificou-se que os três critérios são válidos e os resultados satisfatórios. O terceiro critério apresentou o melhor desempenho, especialmente nos casos em que a curva L tem uma forma irregular.